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Cómo sacar

Cómo sacar el área de un pentágono

Un polígono de cinco lados y vértices es lo que se denomina pentágono. Es regular cuando todos sus lados son iguales y sus ángulos congruentes.  Un pentágono regular se puede inscribir en circunferencias concéntricas.   También se conocen los pentágonos irregulares,  cuyos ángulos o lados interiores no son iguales entre sí.

Aquí te explicaremos varios procedimientos para  sacar el área de un  pentágono regular e irregular.

Sacar el área de un pentágono regular o irregular mediante el procedimiento de la triangulación

La triangulación es uno de los procedimientos conocidos para hallar el área.

  1. Primero, hay que dividir el pentágono en varios triángulos.
  2. Medir la altura de cada triangulo (la menor distancia entre un vértice y el lado opuesto).
  3. Medir las bases de cada triangulo, que son las mismas que los lados del pentágono. Con estas medidas determinarás las áreas de cada triangulo, aplicando la formula de base por altura entre dos: bxh/2
  4. Cuando se tienen las áreas de cada triangulo, se suman para determinar el área total del pentágono.

 Área de un pentágono regular

Procedimiento 1:

Para aplicar esta forma deberás hallar la apotema, que es la menor distancia que hay desde el centro del polígono hasta el punto medio de uno de los lados del pentágono. La apotema es la altura de los triángulos internos en los que se divide el pentágono, una vez conseguida esta medida.

Ahora deberás hallar la base del triangulo que será la medida de uno de sus lados. Con la base y la altura, resuelve la formula para sacar el área del triangulo b.h / 2.

El resultado, deberás multiplicarlo por 5, es decir el equivalente a  la cantidad de lados del pentágono para hallar el área total.

Procedimiento 2:

Mide la longitud de uno de los lados del pentágono, supongamos que mide 8 cm.

Divide el pentágono en triángulos, en total deben ser 5.

Traza una línea desde el centro del pentágono que vaya a cualquiera de los lados de los triángulos, para dividirlo en dos. Esta línea debe formar un ángulo de 90° respecto a la base. El triangulo debe estar dividido en dos triangulos mas pequeños.

Resolviendo con las medidas de ejemplo que se han dado:

La base del triángulo es la mitad de la longitud del lado del pentágono, que se tomó al principio (8 cm), es decir 4 cm.

El ángulo que se forma en el centro del pentágono siempre será de 36°.

  • Aplicar la formula trigonométrica para hallar tan(36°)  =  lado opuesto / lado adyacente es decir tan 36°= lado opuesto (4cm) / altura (h)

 

Despejamos la formula para hallar la altura:  h x tan(36º)= 4

H= 4 / tan 36°=  5,505

Una vez hallada la altura, sacas el área del triangulo que es igual a ½ de la base por la altura (h).

Sustituyendo los valores h= ½(4)(5,505)= 11,01.

Finalmente, para sacar el área del pentágono deberás multiplicar el resultado por 10. Porque los triángulos pequeños equivalen a 1/10 del pentágono. En este caso seria 110 unidades cuadradas.

Determinante de Gauss para pentágonos irregulares

Carl Friedrich Gauss, matemático, astrónomo, geodesta, contribuyó en varias ramas del conocimiento. Uno de sus aportes más conocidos es la determinante de Gauss, algoritmo matemático que se emplea para determinar el área de un polígono irregular . También es conocido como fórmula de lanzada, debido al cruce constante de productos de las coordenadas.

La determinante de Gauss es un procedimiento muy sencillo, utilizado frecuentemente cuando se desea  sacar el área de un pentágono irregular.

Paso 1: Dibujar el polígono en el plano cartesiano y fijar las coordenadas x – y , de cada vértice del polígono. Se debe ir alrededor del polígono en el sentido contrario de las agujas del reloj, el primer par de coordenadas son las del vértice elegido.

Sean las coordenadas  (x1,y1), (x2,y2),…, (x5,y5). Se aplica la formula

De esta forma se podrá sacar el área de un pentágono irregular.

Utiliza el perímetro para sacar el área de un pentágono regular

La fórmula para sacar el área de un pentágono hallando el perímetro sería la siguiente A= Pa/2 donde a es apotema.

La apotema se saca de la misma forma que se ha explicado anteriormente.

El perímetro es 5 veces la longitud de los lados del pentágono. Es decir que si la longitud es 6 la debes multiplicar por 5.

Una vez hallado el perímetro y la apotema aplica la formula A= Pa/2 para sacar el área de un pentágono regular.

Como podrás observar varias maneras de sacar el área de un pentágono. Se recomienda que se apliquen tanto las formulas como los métodos geométricos, así se sabrá con mayor exactitud el área.  De esta forma podrás resolver la mayoría de los problemas presentados en la clase de matemática donde la mayoría de los pentágonos son regulares.

Revisa las formulas de las propiedades de los pentágonos, la apotema y el perímetro, siempre se necesitaran para sacar el área.