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Cómo sacar

¿Qué se necesita para sacar el máximo común divisor?

Poder calcular el máximo común divisor necesitamos seguir algunos pasos sencillos. El M.C.D de dos, tres o más números, se presenta como el mayor número entero común a todos, el cual permite dividirlos a todos ellos. Es decir, de una forma más técnica, es el mayor divisor común a todos esos números. El MCD de esos números naturales o enteros, nunca decimales, es el número más grande que les divide.Pero veamos un poco mas detallado y con ejemplos la mejor forma de sacar el máximo común divisor de una serie de números.

¿Qué es el máximo común divisor?

Como dijimos anteriormente, el máximo común divisor de una serie de números, es aquel número mayor entero y común a todos ellos. Dicho de otra forma, es aquel número que en la operación aritmética de la división, divide a otro o a otros. Para poder sacar el máximo común divisor, se puede lograr de dos formas diferentes. Una que es larga y la otra que es corta. A continuación podremos ver de una excelente y didáctica forma de ver cómo se hace.

sacar el máximo común divisor

Sacar el máximo común divisor de número bajos

Tal y como lo dijimos con anterioridad, la forma más fácil consiste en determinar de todos los números que tenemos, sus divisores. Entonces, el divisor más alto que se repita en todos aquellos números planteados, será el MCD. Pero veamos un ejemplo para comprenderlo de una mejor manera.

  • Son divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20
  • Son divisores de 10: 1, 2, 5 y 10.
  • De esta forma, el más alto y común a ambos es el 10. Por lo tanto, su máximo común divisor es 10.

Esta forma de poder sacar el MCD es más compleja que la otra. Porque es utilizada cuando los números son pequeños. Tan solo porque son sencillos, pero se torna un poco más complicado cuando esos números son altos. Igualmente, para aquellos números altos puedes utilizar el otro sistema un poco más largo.

Sacar el máximo común divisor de números altos

Esta otra forma más larga de poder sacar el MCD de una serie de números altos, se logra por la descomposición de factores. Éste es el método más habitual y utilizado por todos. Podremos lograrlo al descomponer cada uno de los números que nos pregunten en todos sus divisores.

Bien, ahora que tenemos completo lo anterior, tendremos que tomar todos los factores comunes de menor exponente, para luego multiplicarlos entre ellos.

Ejemplo para calcular MCD de números altos

Para poder comprender de una mejor forma lo planteado arriba, lo vamos a ver con un ejemplo. Entonces, para descubrir el MCD de 40 y 60, tendremos que:

  1. Escribir el número que tenemos que descomponer a la derecha, en este caso va a ser el 40.
  2. Luego, trazamos una recta vertical.
  3. Ahora, detras de la misma colocaremos los factores primo comenzando por el más pequeño de ellos.
  4. Repetiremos los pasos anteriores para el número 60.

Ën esta foto, lo que hemos hecho es dividir el 40 entre 2. Luego, buscamos el mínimos divisor de 20, el cual es 2. Luego hicimos lo mismo con el 20, el cual dividimos entre 2. Y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición completa.

¿Cómo saber si seguí los pasos correctamente?

Para poder corroborar si hemos seguido correctamente todos los pasos, te brindaremos un pequeño truco. Consiste en comprobarlo multiplicando. Es decir, comenzaremos desde abajo hacia arriba, multiplicando el último número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador). Si todo va bien, verás que el resultado va a ser el número de arriba del multiplicando.

el máximo común divisor

Ejemplos para calcular el MCD

Veremos ahora cómo calcular los divisores de 15.

  1. 15 / 1 = 15. Entonces el 1 y el 15 son divisores de 15.
  2. 15 / 2 = 7. Aquí el resto es 1, y deducimos que el 2 no es un divisor de 15.
  3. 15 / 3 = 5. 3 y 5 son divisores de 15.
  4. 15 / 4 = 3. Acá el resto sería 3, entonces el 4 no es divisor de 15.
  5. Para poder seguir tendrás que dividir entre 5. Pero al tenerlo ya como divisor, hemos calculado los divisores de 15.

Ahora veamos cómo calcular los divisores de 20.

  1. 20 / 1 = 20. Aquí 1 y 20 son divisores de 20.
  2. 20 / 2 = 10. Entonces sabemos que 2 y 10 son divisores de 20.
  3. 20 / 3 = 6. El resto será de 2, sabiendo que 3 no es un divisor de 20.
  4. 20 / 4 = 5. Al ser igual 5, sabemos que 4 y 5 son divisores de 20.
  5. Para finalizar, tendrás que dividir entre 5. Pero como lo hemos utilizado ya como divisor, terminamos calculando los divisores de 20
calcular máximo común divisor
Sacar el máximo común divisor

Propiedades del máximo común divisor

Hay que saber cuáles son las propiedades del máximo común divisor. Son propiedades útiles que tienes que conocer.

  • Si se multiplican o se dividen dos números por un tercero, su máximo común divisor también.

Para poder lograrlo y comprender dicha afirmación, ejemplificaremos con los números 15 y 20 como lo veníamos haciendo. Sabemos que el MCD de estos dos números es 5.

Si multiplicamos ambos números por tres: 3 x 15 y 3 x 20 su MCD también se multiplicará por la misma cantidad de 3. Entonces MCD(45 y 60) = 3 x 5 = 15.Si queremos comprobarlo, haremos las descomposiciones primas de 45 y 60.

 

  • Si dividimos dos números en su MCD  los resultados serán primos relativos.

 

Entonces MCD (550, 735) = 5. De esta forma si dividimos ambos números entre 5, sus resultados serán coprimos.

550 / 5 = 110 y 735 / 5 = 147.

 

  • Si un número es divisor de otro, entonces es el MCD de ambos dosPara entenderlo utilizaremos como ejemplo los números 24 y 4. Donde 4 es divisor de 24 por lo que si calculamos su MCD deberá ser 4.

Ahora que sabes todo lo necesario para poder sacar el máximo común divisor nos despedimos. Pero antes, te invitamos a dejar tu comentario con las dudas que tengas. De esta forma, podremos ayudarte con aquellos inconvenientes. Muchas gracias por visitarnos y hasta la próxima.